Składowe symetryczne — analiza zwarć niesymetrycznych metodą Fortescue

Przewodnik po obliczaniu prądu zwarciowego wg IEC 60909-0 opisuje metodę równoważnego źródła napięcia do obliczania Ik'' — ale ta metoda w swojej podstawowej formie stosuje się bezpośrednio tylko do jednego konkretnego przypadku: symetrycznego zwarcia trójfazowego (wszystkie trzy fazy zwarte jednocześnie), przy którym sieć po awarii pozostaje całkowicie zrównoważona. Zdecydowana większość rzeczywistych zwarć w sieci jest jednak niesymetryczna: zwarcie jednofazowe doziemne, zwarcie między dwiema fazami lub zwarcie między dwiema fazami i ziemią jednocześnie. Dla takich przypadków prosty jednofazowy schemat zastępczy nie wystarcza — potrzebna jest metoda składowych symetrycznych, opracowana przez Charlesa Fortescue (1918).

Twierdzenie Fortescue

Fortescue wykazał, że dowolny niesymetryczny trójfazowy układ wektorów można matematycznie rozłożyć na sumę trzech symetrycznych podukładów:

• Składowa zgodna (1) — trzy wektory o równej wartości, przesunięte o 120°, w tej samej kolejności faz co pierwotna, zdrowa sieć.
• Składowa przeciwna (2) — trzy wektory o równej wartości, również przesunięte o 120°, ale w odwrotnej kolejności faz.
• Składowa zerowa (0) — trzy wektory o równej wartości, zgodne w fazie ze sobą nawzajem (bez wzajemnego przesunięcia).

Każdy rzeczywisty, dowolnie niesymetryczny stan napięcia lub prądu przy zwarciu można dokładnie przedstawić jako sumę tych trzech składowych. Sieć jest wówczas modelowana jako trzy oddzielne, każda sama w sobie symetryczna — a więc możliwa do obliczenia za pomocą jednofazowego schematu zastępczego — sieci o własnych impedancjach Z1, Z2 i Z0.

Dlaczego trzy sieci, a nie jedna

• Sieć składowej zgodnej (Z1): ta sama sieć, która obowiązuje w normalnym, symetrycznym trybie pracy — te same impedancje, co w zwykłym obliczeniu prądu zwarciowego wg IEC 60909-0.
• Sieć składowej przeciwnej (Z2): dla urządzeń statycznych (kable, linie, transformatory) Z2 jest praktycznie równe Z1. Dla maszyn wirujących (generatory, duże silniki) Z2 wyraźnie różni się od Z1, ponieważ wirujące pole prądu składowej przeciwnej wiruje w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wirnika — zob. też przewodnik po zabezpieczeniu składowej przeciwnej (46), oparty na tym samym zjawisku.
• Sieć składowej zerowej (Z0): ta sieć różni się najbardziej i istnieje tylko wtedy, gdy rzeczywiście jest droga powrotna dla (zgodnego w fazie) prądu składowej zerowej. Uzwojenie połączone w trójkąt całkowicie blokuje drogę składowej zerowej na zewnątrz (prąd składowej zerowej krąży wewnątrz trójkąta); nieuziemiony punkt neutralny również nie daje zewnętrznej drogi składowej zerowej. Droga dla Z0 istnieje tylko przy uziemionym punkcie neutralnym — bezpośrednio lub przez impedancję, zob. przewodnik po uziemieniu rezystancyjnym punktu neutralnego (NGR) i przewodnik po transformatorze uziemiającym zygzak, który właśnie ma na celu stworzenie drogi składowej zerowej tam, gdzie naturalnie jej nie ma.

Cztery rodzaje zwarć

Każdy typ zwarcia odpowiada szczególnemu sposobowi połączenia trzech sieci ze sobą:

• Symetryczne zwarcie trójfazowe (3f): zaangażowana jest tylko sieć składowej zgodnej: Ia1 = Ea / (Z1 + Zf), Ia2 = Ia0 = 0. Właśnie ten przypadek w podstawowej formie oblicza metoda równoważnego źródła napięcia IEC 60909-0.
• Zwarcie jednofazowe doziemne (1f-ziemia, SLG): trzy sieci łączą się szeregowo: Ia1 = Ia2 = Ia0 = Ea / (Z1 + Z2 + Z0 + 3·Zf). Pełny prąd zwarcia doziemnego równa się wtedy 3×Ia0.
• Zwarcie międzyfazowe (2f, LL): sieci składowej zgodnej i przeciwnej łączą się równolegle w przeciwfazie, sieć składowej zerowej nie jest zaangażowana: Ia1 = −Ia2 = Ea / (Z1 + Z2 + Zf).
• Zwarcie międzyfazowe z doziemieniem (2f-ziemia, LLG): wszystkie trzy sieci łączą się ze sobą równolegle — najbardziej złożona kombinacja, której wynik w zależności od sytuacji może być zarówno wyższy, jak i niższy niż przy innych typach zwarć.

Nieintuicyjny wniosek: zwarcie doziemne może dać największy prąd

Uwaga: w sieci solidnie uziemionej lub uziemionej niskoomowo wcale nie jest oczywiste, że symetryczne zwarcie trójfazowe zawsze daje największy prąd. Gdy impedancja składowej zerowej Z0 jest mniejsza niż impedancja składowej zgodnej Z1 — co może występować w pobliżu solidnie uziemionego transformatora w układzie gwiazda-trójkąt o stosunkowo niskiej reaktancji składowej zerowej — obliczony prąd zwarcia jednofazowego doziemnego może faktycznie przekraczać prąd symetrycznego zwarcia trójfazowego. Czy dotyczy to konkretnej instalacji, zależy całkowicie od rzeczywistego stosunku Z0/Z1 danej sieci i danego transformatora i musi być obliczane indywidualnie dla każdego przypadku — to nie jest uniwersalna zasada.

Znaczenie praktyczne

Składowe symetryczne to nie tylko metoda obliczeniowa, ale też podstawa kilku praktycznych funkcji zabezpieczeniowych, omówionych już na tej stronie: zabezpieczenie składowej przeciwnej (46) wykrywa I2, zabezpieczenie napięciowe składowej zerowej (59N) wykrywa V0, a zabezpieczenie nadprądowe ziemnozwarciowe (50N/51N) wykrywa I0. Zrozumienie, skąd biorą się te wielkości — mianowicie jako jedna z trzech składowych rozkładu Fortescue — wyjaśnia również, dlaczego każde z tych zabezpieczeń jest specyficznie wrażliwe na typ zwarcia, dla którego zostało zaprojektowane, i dlaczego np. 50N/51N nie zadziała przy zwarciu międzyfazowym bez doziemienia (gdzie I0 pozostaje równe zeru).

Typowe błędy

1. Założenie, że zwarcie trójfazowe zawsze jest zwarciem decydującym (największym) przy doborze aparatury łączeniowej — przy niskim stosunku Z0/Z1 największy prąd może dawać właśnie zwarcie jednofazowe doziemne.
2. Utożsamianie Z2 z Z1 dla maszyn wirujących — dla generatorów i dużych silników jest to znaczne uproszczenie, które może prowadzić do błędnego obliczenia prądu zwarciowego.
3. Zakładanie istnienia drogi składowej zerowej tam, gdzie jej nie ma — na przykład przy uzwojeniu połączonym w trójkąt lub nieuziemionym punkcie neutralnym, gdzie Z0 jest w praktyce nieskończone (droga nie istnieje).
4. Mieszanie obliczeń trzech rodzajów zwarć niesymetrycznych (SLG, LL, LLG) z użyciem tego samego schematu połączeń sieci — każdy typ zwarcia ma swoją, szczególną kombinację połączenia szeregowego/ równoległego trzech sieci.

Powiązane materiały

• Obliczanie prądu zwarciowego wg IEC 60909-0
• Zabezpieczenie składowej przeciwnej (46) — niesymetria faz silnika/generatora
• Zabezpieczenie napięciowe składowej zerowej (59N) w sieci IT
• Uziemienie rezystancyjne punktu neutralnego (NGR) — niskoomowe i wysokoomowe