Symmetrische componenten — asymmetrische foutanalyse volgens Fortescue

De gids over kortsluitstroomberekening volgens IEC 60909-0 behandelt de equivalente-spanningsbronmethode voor het berekenen van Ik'' — maar in de kern is die methode in haar eenvoudigste vorm direct toepasbaar op één specifiek geval: de symmetrische driefasenfout (alle drie fasen tegelijk kortgesloten), waarbij het net na de fout nog steeds volledig in balans blijft. De overgrote meerderheid van reële fouten in een net is juist asymmetrisch: een enkelvoudige aardsluiting van één fase, een fout tussen twee fasen, of een fout tussen twee fasen én aarde. Voor die gevallen volstaat een simpel enkelfasig equivalent schema niet — daarvoor is de methode van symmetrische componenten, ontwikkeld door Charles Fortescue (1918), nodig.

Het theorema van Fortescue

Fortescue toonde aan dat elk willekeurig onbalanced (asymmetrisch) driefasig fasorenstelsel wiskundig kan worden ontbonden in de som van drie symmetrische deelstelsels:

• Positievevolgordecomponent (1) — drie fasoren van gelijke grootte, 120° verschoven, in dezelfde fasevolgorde als het oorspronkelijke, gezonde net.
• Negatievevolgordecomponent (2) — drie fasoren van gelijke grootte, eveneens 120° verschoven, maar in de omgekeerde fasevolgorde.
• Nulvolgordecomponent (0) — drie fasoren van gelijke grootte, in fase met elkaar (geen onderlinge verschuiving).

Elke werkelijke, mogelijk sterk asymmetrische spannings- of stroomtoestand tijdens een fout is exact te schrijven als de som van deze drie componenten. Het net wordt vervolgens gemodelleerd met drie afzonderlijke, elk op zichzelf symmetrische netwerken — en dus wél met een enkelfasig equivalent schema te berekenen — met elk hun eigen impedantie Z1, Z2 en Z0.

Waarom drie netwerken en niet één

• Positievevolgordenetwerk (Z1): dit is het netwerk dat ook bij normaal, symmetrisch bedrijf van toepassing is — dezelfde impedanties als in de gewone kortsluitstroomberekening van IEC 60909-0.
• Negatievevolgordenetwerk (Z2): voor statische apparatuur (kabels, lijnen, transformatoren) is Z2 vrijwel gelijk aan Z1. Voor roterende machines (generatoren, grote motoren) wijkt Z2 duidelijk af van Z1, omdat het draaiveld van de negatievevolgordestroom ten opzichte van de rotor in de tegengestelde richting draait — zie ook de gids over negatievevolgordebeveiliging (46), die op datzelfde verschijnsel is gebaseerd.
• Nulvolgordenetwerk (Z0): dit netwerk wijkt het sterkst af, en bestaat pas als er daadwerkelijk een retourpad voor de (in fase staande) nulvolgordestroom aanwezig is. Een in driehoek geschakelde wikkeling blokkeert het nulvolgordepad naar buiten volledig (de nulvolgordestroom circuleert intern in de driehoek); een sterpunt dat niet geaard is, biedt evenmin een extern nulvolgordepad. Alleen bij een geaard sterpunt — rechtstreeks of via een impedantie, zie de gids over NGR-weerstandsaarding en de gids over de zigzag-aardingstransformator, die juist bedoeld is om een nulvolgordepad te creëren waar dat van nature ontbreekt — bestaat er een pad voor Z0.

De vier foutcasussen

Elk foutentype correspondeert met een specifieke manier waarop de drie netwerken onderling worden gekoppeld:

• Symmetrische driefasenfout (3φ): alleen het positievevolgordenetwerk is betrokken: Ia1 = Ea / (Z1 + Zf), Ia2 = Ia0 = 0. Dit is exact het geval dat de equivalente-spanningsbronmethode van IEC 60909-0 in de basisvorm berekent.
• Enkelvoudige aardsluiting (1φ-aarde, SLG): de drie netwerken worden in serie geschakeld: Ia1 = Ia2 = Ia0 = Ea / (Z1 + Z2 + Z0 + 3·Zf). De totale foutstroom naar aarde is dan 3×Ia0.
• Fout tussen twee fasen (2φ, LL): het positieve- en negatievevolgordenetwerk worden parallel in tegenfase geschakeld, het nulvolgordenetwerk is niet betrokken: Ia1 = −Ia2 = Ea / (Z1 + Z2 + Zf).
• Fout tussen twee fasen én aarde (2φ-aarde, LLG): alle drie de netwerken worden onderling parallel geschakeld — de meest gecompliceerde combinatie, met een uitkomst die situatieafhankelijk hoger of lager kan uitvallen dan bij de andere foutentypen.

Een tegen-intuïtief gevolg: de aardsluiting kan de hoogste stroom geven

Let op: in een solide of laagohmig geaard net is het niet vanzelfsprekend dat de symmetrische driefasenfout altijd de hoogste kortsluitstroom oplevert. Wanneer de nulvolgordeimpedantie Z0 kleiner is dan de positievevolgordeimpedantie Z1 — wat vlak bij een solide geaarde ster-driehoektransformator met een relatief lage nulvolgordereactantie kan voorkomen — kan de berekende stroom van een enkelvoudige aardsluiting die van de symmetrische driefasenfout juist overtreffen. Of dit voor een specifieke installatie geldt, hangt volledig af van de daadwerkelijke Z0/Z1-verhouding van het betreffende net en de betreffende transformator, en moet per geval worden berekend — dit is geen universele regel.

Praktische relevantie

Symmetrische componenten vormen niet alleen een rekenmethode, maar ook de basis van meerdere praktische beveiligingsfuncties die al elders op deze site zijn behandeld: negatievevolgordebeveiliging (46) detecteert I2, nulspanningsbeveiliging (59N) detecteert V0, en aardfoutoverstroombeveiliging (50N/51N) detecteert I0. Wie begrijpt waar deze grootheden vandaan komen — namelijk als een van de drie componenten van Fortescue's ontbinding — begrijpt ook beter waarom elk van deze beveiligingen specifiek gevoelig is voor het foutentype waarvoor hij is ontworpen, en waarom 50N/51N bijvoorbeeld bij een fout tussen twee fasen zonder aardraking (waar I0 nul blijft) niet aanspreekt.

Veelgemaakte fouten

1. Aannemen dat de driefasenfout altijd de maatgevende (hoogste) fout is bij het dimensioneren van schakelmateriaal — bij een lage Z0/Z1-verhouding kan een enkelvoudige aardsluiting de hoogste stroom geven.
2. Z2 gelijkstellen aan Z1 voor roterende machines — voor generatoren en grote motoren is dat een merkbare vereenvoudiging die tot een onjuiste foutstroomberekening kan leiden.
3. Een nulvolgordepad aannemen waar er geen is — bijvoorbeeld bij een in driehoek geschakelde wikkeling of een ongeaard sterpunt, waar Z0 in de praktijk oneindig (geen pad) is.
4. De drie asymmetrische foutentypen (SLG, LL, LLG) door elkaar berekenen met dezelfde netwerkkoppeling — elk foutentype heeft zijn eigen, specifieke combinatie van serie-/parallelschakeling van de drie netwerken.

Gerelateerd

• Kortsluitstroomberekening volgens IEC 60909-0
• Negatievevolgordebeveiliging (46) — fasenonbalans bij motor/generator
• Nulspanningsbeveiliging (59N) — verschuivingsspanning in een IT-net
• Weerstandsaarding (NGR) — laagohmig versus hoogohmig sterpunt